Bon,
Le firmware c'est en gros le logiciel interne de la carte qui te permettra de lancer le kernel. Il se trouve dans la mémoire interne de ta R4, en Rom. Et donc, le kernel c'est un peu le système d'exploitation de ta carte (un peu comme un windows quoi). Lui, se trouve sur ta microSd.
Pour le problème de ta carte, ne sachant pas si l'erreur vient du kernel ou du firmware, je ne sais pas trop quoi te dire. Mais si tu as suivi les recommandations du constructeur et que tu as placé les bons fichiers aux bons endroits, ça doit venir du firmware.
Pour l'upgrade du firware, tu l'auras compris, il faut que tu puisses lancer ton kernel. Du coup, il te faut une console qui accepte ta carte et là, tu pourras lancer l'upgrade. C'est pour ça que j'ai toujours une DsLite chez moi pour faire les màj de firmware. Avec une Dsi ou une 3DS avec un firmware plus ancien ça marche aussi. Mais comme je ne sais pas trop quel firmware ta R4 supporte, le mieux est une DsLite.